Schiffe versenken: Die beste Aufstellung laut Wahrscheinlichkeitskarte

Eine beste Aufstellung für jede Partie gibt es bei Schiffe versenken nicht, eindeutig schlechte aber schon. In unserer Simulation kostete eine Flotte flach am Rand einen Wahrscheinlichkeitsjäger etwa 6 Schüsse mehr, während Flotten in der Mitte oder als zusammenhängende Gruppe am schnellsten gefunden wurden. Ein Gegner, der deine Gewohnheiten lernt, macht jeden Vorteil zunichte. Auf Dauer hilft also nur, das Versteck zu wechseln.

Ich entwickle Torpedo, ein Schiffe-versenken-Spiel für iPhone und iPad. Für den Computer-Gegner brauchten wir harte Zahlen darüber, wo Schiffe meist liegen und welche Verstecke halten. Also haben wir einen Simulator geschrieben, 5 Millionen zufällige Flottenaufstellungen kartiert und in 400.000 Partien fünf Aufstellungsstile gegen vier verschiedene Jäger getestet. Die Rohdaten sind öffentlich. Für die Seite des Schützen siehe unsere Strategie für Schiffe versenken.

Wo liegen Schiffe am wahrscheinlichsten?

Im klassischen Spiel (Schiffe mit 5, 4, 3, 3 und 2 Kästchen) liegen Schiffe am häufigsten in der Mitte des Feldes. Über 4 Millionen zufällige gültige Aufstellungen hinweg lag auf E5 in 21,4 % der Fälle ein Schiff, und die Nachbarn F5, E6 und F6 sind statistisch gleichauf. Auf den Ecken lag nur in 8,0 % der Fälle ein Schiff. Der Durchschnitt über das ganze Feld ist 17 %, weil die Flotte 17 von 100 Feldern belegt.

Der Grund ist einfache Geometrie: Durch ein Mittelfeld führen mehr Positionen. Zählst du jede Möglichkeit, ein Schiff der klassischen Flotte auf ein leeres Feld zu legen, kommst du auf 760 Positionen. 34 davon decken E5 ab, nur 10 die Ecke A1. Beim Flugzeugträger mit fünf Kästchen allein ist das Verhältnis fünf zu eins (10 Positionen durch E5, 2 durch A1). Nick Berry beschrieb denselben Randeffekt 2011 in seiner Analyse auf DataGenetics: An die Ränder und Ecken reichen weniger Positionen.

Die echte Karte ist milder, als diese Zählung vermuten lässt. Mit allen fünf Schiffen zusammen behindern sich die Schiffe gegenseitig, und das Verhältnis Mitte zu Ecke sinkt von 3,4 bei der Zählung auf dem leeren Feld auf 2,67 in echten Aufstellungen. Ein Wahrscheinlichkeitsjäger startet mit dieser Karte, deshalb gehen seine ersten Schüsse in die Mitte.

Wie viele Aufstellungen es insgesamt gibt, hängt stark von der Flotte ab. Für die deutsche Zettel-Flotte mit einem 5er, zwei 4ern, drei 3ern und vier 2ern nennt die deutsche Wikipedia genau 26.509.655.816.984 Möglichkeiten, also rund 26,5 Billionen (Wikipedia). Diese Flotte haben wir nicht kartiert, die Karten hier gelten für die klassische und die osteuropäische Flotte.

Warum zieht die Zehn-Schiffe-Flotte die Schiffe an den Rand?

Die osteuropäische Zehn-Schiffe-Flotte (ein Schiff mit 4 Kästchen, zwei mit 3, drei mit 2 und vier mit 1, ohne Berührung, auch nicht über Eck) ergibt die umgekehrte Karte. Über 1 Million zufällige gültige Aufstellungen liegen auf Randfeldern am häufigsten Schiffe: C1, H1, A3, J3, A8, J8, C10 und H10 jeweils mit etwa 25,7 %. Der Ring ein Feld weiter innen ist am kältesten (B9 mit 14,7 %), die Mitte liegt bei 18,2 %.

Schuld ist die Berührungsregel. Jedes Schiff braucht einen Rand aus Wasser. Bei einem Schiff am Spielfeldrand schneidet der Rand einen Teil davon ab, das Schiff verbraucht also weniger Meer und lässt den anderen neun mehr Platz. Deutlich mehr gültige Aufstellungen legen deshalb Schiffe an den Rand. Der zweite Ring ist kalt, vermutlich weil ein Schiff dort die Randreihe daneben blockiert, ohne diesen Rabatt zu bekommen.

Das war die größte Überraschung in unseren Daten. Die einfache Zählung einzelner Schiffspositionen auf dem leeren Feld zeigt weiterhin zur Mitte (36 Positionen durch ein Mittelfeld, 16 durch eine Ecke). Jede Methode, die auf dieser Zählung beruht, eröffnet bei dieser Flotte also an der falschen Stelle. Wer die Zehn-Schiffe-Variante spielt und die echte Karte kennt, eröffnet am Rand, denn dort tauchen die meisten Schiffe auf. Den folgenden Aufstellungstest haben wir nur mit der klassischen Flotte gemacht.

Welche Aufstellung hält am längsten? Das Experiment

Wir haben fünf Aufstellungsstile mit der klassischen Flotte getestet, je 20.000 Partien für jeden Stil und jeden Jäger. Jede Flotte wurde zufällig aus allen gültigen Aufstellungen gezogen, die zum Stil passen:

• Zufall: irgendeine gültige Aufstellung, gleichverteilt.
• Flach am Rand: Jedes Schiff liegt ganz im äußeren Ring.
• Jedes Schiff berührt den Rand: Jedes Schiff hat mindestens ein Kästchen im äußeren Ring.
• Mittlere 6×6: Jedes Schiff liegt im Block C3 bis H8.
• Alle Schiffe berühren sich: Die fünf Schiffe bilden eine zusammenhängende Gruppe.

Die vier Jäger waren ein Schachbrettspieler mit Jagen und Zielen, die Lehrbuch-Methode der Wahrscheinlichkeitsdichte, die Stufe Schwer von Torpedo und die Stufe Experte, nachdem sie 20 frühere Flotten desselben Stils gesehen hatte. Die Tabelle zeigt, wie viele Schüsse jeder Jäger im Schnitt brauchte, um die ganze Flotte zu versenken. Mehr ist besser für den Versteckenden.

Was die Ergebnisse bedeuten

• Der Rand schlägt Wahrscheinlichkeitsjäger. Eine Flotte flach am Rand hielt gegen den Wahrscheinlichkeitsjäger 6,2 Schüsse länger durch als eine Zufallsflotte, gegen Torpedo Schwer 5,9. Der Anteil der Partien, die dieser Jäger mit höchstens 50 Schüssen beendete, fiel von 73,5 % auf 42,0 %.
• Den Schachbrettspieler täuscht der Rand nicht. Dieselbe Randflotte fand der Schachbrettjäger etwas schneller (53,4 statt 55,1 Schüsse). Ein Schiff am Rand hat weniger Nachbarn, nach einem Treffer bleiben also weniger falsche Felder zum Abtasten.
• Den Rand nur zu berühren bringt weniger. Schiffe, die den Rand nur mit einem Ende berühren, gewannen gegen den Wahrscheinlichkeitsjäger nur etwa 4 Schüsse (49,5).
• Die Mitte ist das schlechteste Versteck. Eine Flotte in den mittleren 6×6 Feldern verlor gegen jeden Jäger schneller als eine Zufallsaufstellung, und Experte fand sie in 36,3 Schüssen, nachdem er die Gewohnheit gelernt hatte.
• Schiffe zusammenzuschieben geht nach hinten los. Eine zusammenhängende Gruppe fand der Wahrscheinlichkeitsjäger in 43,3 Schüssen, der Schachbrettjäger in 47,2. Nur 0,98 % aller Zufallsaufstellungen bilden eine zusammenhängende Gruppe. Wer so aufstellt, tut es also mit Absicht, und das ist keine gute Wahl.

Hängt die beste Aufstellung vom Gegner ab?

Ja, und deshalb gewinnt keine einzelne Aufstellung immer. Gegen einen Computer oder einen Freund, der in der Mitte anfängt und nach Wahrscheinlichkeit spielt, bringt dir eine Randflotte etwa 6 Schüsse. Das ist viel in einem Spiel, in dem gewinnt, wer zuerst fertig ist. Gegen jemanden, der das Feld stur im Schachbrett absucht, bringt der Rand nichts und kostet eher ein, zwei Schüsse.

Echte Menschen haben wir nicht gemessen. Nimm das also als Faustregel, nicht als Gesetz: Der Schachbrettjäger steht für einen methodischen Spieler, der Wahrscheinlichkeitsjäger für einen, der dorthin zielt, wo Schiffe am wahrscheinlichsten liegen. Die meisten Spieler liegen irgendwo dazwischen.

Und wenn dein Gegner diesen Artikel auch gelesen hat?

Liest dein Freund diesen Artikel, wird deine Randflotte zum Nachteil. Er beschießt zuerst den Rand, und du verlierst die 6 Schüsse und wahrscheinlich mehr. Genau das macht die Stufe Experte in Torpedo: Nach 20 Partien gegen einen Spieler, der immer an den Rand geht, versenkte sie die Flotte in 46,8 Schüssen statt der 50,7, die Schwer braucht.

Die Abwehr: Lass deinen Gegner raten.

1. Wechsle zwischen Stilen. Nutze gegen starke Gegner oft den Rand, aber nicht jede Partie.
2. Misch echte Zufallsaufstellungen ein. Eine Zufallsflotte kostet jeden Jäger etwa gleich viel und gibt ihm kein Muster zum Lernen.
3. Versteck dich nie gebündelt in der Mitte oder als eine große Gruppe. Nur diese Stile verloren gegen jeden Jäger.
4. Beobachte deine eigenen Gewohnheiten. Landet dein Zerstörer immer in derselben Ecke, merkt das ein guter Gegner.

Wie entscheidet ein Computer, wohin er schießt?

Die stärkste Suchmethode in unseren Tests ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, die Berry 2011 beschrieben hat. In einfachen Worten:

1. Liste für jedes gegnerische Schiff, das noch schwimmt, jede Position auf, die es einnehmen kann, ohne ein bekanntes Wasserfeld oder ein versenktes Schiff zu kreuzen.
2. Zähl für jedes Feld, wie viele dieser Positionen es abdecken.
3. Schieß auf das Feld mit der höchsten Zahl.
4. Nach einem Treffer zähl nur Positionen, die durch den Treffer gehen, damit die nächsten Schüsse dem angeschossenen Schiff folgen.
5. Wiederhole das nach jedem Schuss, denn jede Antwort schließt Positionen aus.

Diese Methode versenkte die klassische Flotte in unserer Simulation im Schnitt in 45,0 Schüssen, Zufallsschüsse brauchten 95,4. Sie erklärt auch, warum Randflotten gegen sie funktionieren: Ihre Zählung bevorzugt die Mitte, also sucht sie dort zuerst.

So arbeitet die Stufe Schwer in Torpedo. Solange ein Schiff angeschossen ist, zählt sie Positionen durch die Treffer und gewichtet sie mit dem Quadrat der Zahl der abgedeckten Treffer. Ihre ersten acht Suchschüsse wählt sie zufällig unter den fünf besten Feldern, damit sich ihre Eröffnung nicht wiederholt. Sie kam auf 44,9 Schüsse im Schnitt. Experte verzichtet auf die zufällige Eröffnung und hat dafür ein Gedächtnis: Nach jeder Partie merkt die Stufe sich, wo deine Schiffe lagen, und multipliziert bei der Suche die Zahl jedes Feldes, das du oft nutzt, mit bis zu 1,6. Keine der beiden Stufen sieht während der Partie dein Feld. Experte lernt deine Flotte erst nach dem Spiel kennen, so wie sich ein Mensch an deinen Stil erinnern würde.

Beide Stufen zählen Positionen Schiff für Schiff, und diese Zählung zeigt auf dem leeren Feld zur Mitte. Wie die Karte der Zehn-Schiffe-Flotte zeigt, wäre gegen diese Flotte ohne Berührung der Rand die bessere Eröffnung.

Ist „Flotte mischen“ in Torpedo eine Zufallsaufstellung?

Nicht ganz, und das sagen wir lieber offen. Die automatische Aufstellung von Torpedo, die für die Flotte des Computers und für den Knopf „Flotte mischen“ genutzt wird, setzt die Schiffe nacheinander, das größte zuerst. Dadurch liegt sie im klassischen Spiel etwas mehr in der Mitte als eine echte Zufallsauswahl (auf Mittelfeldern liegt in 22,2 % statt 21,4 % der Fälle ein Schiff), und bei der Zehn-Schiffe-Flotte ist sie fast gleichmäßig statt randlastig. An den Ergebnissen des Computers ändert das kaum etwas. Wenn du den Randeffekt aus dieser Anleitung willst, stell deine Schiffe von Hand auf.

Die Regeln hinter beiden Flotten erklärt unsere Anleitung zu den Regeln von Schiffe versenken. Wer Aufstellungen mit einem Freund und einem Bleistift ausprobieren will, findet in unserer Anleitung für Schiffe versenken auf Papier eine Vorlage zum Ausdrucken, und die Funktionsseite von Torpedo listet Computer-Stufen und Modi auf.

Häufige Fragen