Dónde colocar los barcos en hundir la flota: el mapa de probabilidades

No hay una única colocación ganadora en hundir la flota, pero sí hay colocaciones claramente malas. En nuestra simulación, una flota tumbada a lo largo del borde le costó a un cazador por probabilidad unos 6 disparos más, mientras que las flotas amontonadas en el centro o en un solo grupo pegado cayeron antes. Un rival que aprende tus costumbres borra cualquier ventaja, así que a la larga lo mejor es ir cambiando de escondite.

Soy el desarrollador de Torpedo, un juego de batalla naval para iPhone y iPad, y cuando programamos su rival necesitábamos números sólidos sobre dónde suelen acabar los barcos y qué formas de esconderlos aguantan. Escribimos un simulador, cartografiamos 5 millones de flotas colocadas al azar y jugamos 400 000 partidas para probar cinco estilos de colocación contra cuatro cazadores distintos. Los resultados en bruto son públicos. Para la parte del disparo, mira nuestra guía de estrategia para hundir la flota.

¿Dónde es más probable que haya un barco?

En el juego clásico (barcos de 5, 4, 3, 3 y 2 casillas), lo más probable es que los barcos ocupen el centro del tablero. En 4 millones de colocaciones legales al azar, la casilla E5 tuvo un barco el 21,4 % de las veces, y sus vecinas F5, E6 y F6 están empatadas con ella en la práctica. Las esquinas solo tuvieron un barco el 8,0 % de las veces. La media del tablero es el 17 %, porque la flota ocupa 17 de las 100 casillas.

La razón es pura geometría: por una casilla central pasan más posiciones. Si cuentas todas las formas de colocar un barco de la flota clásica en un tablero vacío, salen 760. De ellas, 34 pasan por E5 y solo 10 por la esquina A1. Para el portaaviones de cinco casillas, la diferencia es de cinco a uno (10 posiciones por E5, 2 por A1). Nick Berry describió el mismo efecto del borde en su análisis de DataGenetics de 2011: a los bordes y las esquinas llegan menos posiciones.

El mapa real es más suave de lo que sugiere ese recuento. Con los cinco barcos colocados juntos, se estorban unos a otros, y la relación entre centro y esquina baja de 3,4 en el recuento con el tablero vacío a 2,67 en las colocaciones reales. Un cazador por probabilidad parte de este mapa, y por eso sus primeros disparos van al centro.

¿Por qué la flota de diez barcos lleva el mapa hacia los bordes?

La flota de papel de diez barcos (uno de 4, dos de 3, tres de 2 y cuatro de 1, sin tocarse ni por las esquinas) da el mapa contrario. En 1 millón de colocaciones legales al azar, las casillas del borde son las que más probabilidad tienen de esconder un barco: C1, H1, A3, J3, A8, J8, C10 y H10, cada una alrededor del 25,7 %. El anillo situado una casilla hacia dentro es el más frío (B9, con el 14,7 %), y el centro se queda en el 18,2 %.

La culpa es de la regla de no tocarse. Cada barco necesita un margen de agua vacía a su alrededor. A un barco en el borde, el propio límite del tablero le recorta parte de ese margen, así que gasta menos mar y deja más sitio para los otros nueve. Hay muchas más colocaciones legales con barcos en el borde. El segundo anillo está frío, muy probablemente porque un barco ahí bloquea la fila del borde de al lado sin obtener ese descuento.

Fue la mayor sorpresa de nuestros datos. El recuento simple de posiciones de un barco suelto en un tablero vacío sigue señalando el centro (36 posiciones por una casilla central frente a 16 por una esquina), así que cualquier método basado en ese recuento abre por el sitio equivocado con esta flota. Si juegas con diez barcos, un cazador que conozca el mapa real abrirá por los bordes, porque ahí es donde más barcos aparecen. La prueba de colocación de abajo la hicimos solo con la flota clásica.

¿Qué colocación aguanta más? El experimento

Probamos cinco estilos de flota con la flota clásica, 20 000 partidas por cada combinación de estilo y cazador. Cada flota se eligió al azar entre todas las colocaciones legales que encajaban en el estilo:

• Al azar: cualquier colocación legal, elegida de forma uniforme.
• Tumbados en el borde: todos los barcos enteros sobre el anillo exterior de casillas.
• Todos los barcos tocan el borde: cada barco tiene al menos una casilla en el anillo exterior.
• 6×6 central: todos los barcos dentro del bloque C3 a H8.
• Todos pegados: los cinco barcos forman un único grupo conectado.

Los cuatro cazadores fueron un jugador que busca y remata en damero, el método de manual de densidad de probabilidad, el nivel Difícil de Torpedo y el nivel Experto de Torpedo después de haber visto 20 flotas anteriores del mismo estilo. La tabla muestra la media de disparos que necesitó cada cazador para hundir la flota entera. Cuanto más alta, mejor para quien esconde.

Qué significan los resultados

• El borde les gana a los cazadores por probabilidad. Una flota tumbada en el borde le costó al cazador por probabilidad 6,2 disparos más que una flota al azar, y al Difícil de Torpedo, 5,9 más. La parte de partidas que ese cazador terminó en 50 disparos o menos bajó del 73,5 % al 42,0 %.
• El borde no engaña a quien busca en damero. El cazador en damero encontró la misma flota del borde algo antes (53,4 disparos en lugar de 55,1). Un barco en el borde tiene menos vecinos, así que tras un tocado quedan menos casillas equivocadas que tantear.
• Tocar el borde es una versión más floja. Los barcos que solo tocan el borde con un extremo ganaron menos: unos 4 disparos contra el cazador por probabilidad (49,5).
• El centro es el peor escondite. Una flota en el 6×6 central cayó antes que una al azar contra todos los cazadores, y el Experto la encontró en 36,3 disparos en cuanto aprendió la costumbre.
• Juntar los barcos sale caro. El cazador por probabilidad encontró un grupo único pegado en 43,3 disparos, y el de damero, en 47,2. Solo el 0,98 % de las colocaciones al azar forman un único grupo conectado, así que es una decisión deliberada, y mala.

¿La mejor colocación depende del rival?

Sí, y por eso ninguna colocación gana siempre. Contra una máquina, o un amigo, que abre por el centro y juega a las probabilidades, una flota en el borde te regala unos 6 disparos, mucha ventaja en un juego que gana quien termina primero. Contra alguien que barre el tablero con un damero simple, el borde no te da nada y te cuesta un disparo o dos.

No medimos a personas reales, así que toma esto como orientación y no como ley: el cazador en damero representa a un jugador metódico, y el cazador por probabilidad, a uno que apunta donde es más probable que haya barcos. La mayoría de los jugadores está en algún punto intermedio.

El metajuego: ¿y si tu rival también ha leído esto?

Si tu amigo lee este artículo, tu flota en el borde pasa a ser un lastre. Disparará primero a los bordes, y pierdes los 6 disparos y seguramente más. Es justo lo que hace el nivel Experto de Torpedo: tras 20 partidas contra un jugador que siempre se pega al borde, hundió la flota en 46,8 disparos en lugar de los 50,7 que necesita el Difícil.

La defensa es mantener al rival adivinando:

1. Alterna estilos. Usa a menudo colocaciones en el borde contra un rival fuerte, pero no en todas las partidas.
2. Mezcla colocaciones totalmente al azar. Una flota al azar le cuesta a todos los cazadores más o menos lo mismo y no les da ningún patrón que aprender.
3. No te escondas nunca en el grupo central ni en un solo bloque. Fueron los únicos estilos que perdieron contra todos los cazadores.
4. Vigila tus propias manías. Si tu destructor acaba siempre en la misma esquina, un buen rival lo notará.

¿Cómo decide la máquina dónde disparar?

El método de caza más fuerte de nuestras pruebas es la densidad de probabilidad, que Berry describió en 2011. Explicado sin fórmulas:

1. Para cada barco enemigo a flote, enumera todas las posiciones que puede ocupar sin cruzar un agua conocida ni un barco hundido.
2. Para cada casilla, cuenta cuántas de esas posiciones pasan por ella.
3. Dispara a la casilla con el recuento más alto.
4. Tras un tocado, cuenta solo las posiciones que pasan por él, para que los siguientes disparos sigan al barco herido.
5. Repite después de cada disparo, porque cada respuesta descarta posiciones.

Este método hundió la flota clásica en 45,0 disparos de media en nuestra simulación, frente a 95,4 disparando al azar. También explica por qué las flotas en el borde le funcionan: su recuento favorece el centro, así que busca ahí primero.

El nivel Difícil de Torpedo funciona así. Mientras hay un barco herido, cuenta las posiciones que pasan por los tocados y las pondera por el cuadrado de cuántos tocados cubren, y elige sus ocho primeros disparos de búsqueda al azar entre las cinco mejores casillas, para que su apertura no se repita. Su media fue de 44,9 disparos. El Experto quita la apertura aleatoria y añade memoria: después de cada partida apunta dónde estaban tus barcos y, al buscar, multiplica el recuento de cada casilla hasta por 1,6 en las casillas que usas a menudo. Ninguno de los dos ve tu tablero durante la partida. El Experto aprende de tu flota solo cuando termina la partida, que es como la recordaría una persona.

Los dos niveles cuentan las posiciones barco a barco, y ese recuento apunta al centro con el tablero vacío. Como muestra el mapa de diez barcos, contra la flota que no se toca sería mejor abrir por los bordes.

¿El botón de colocación aleatoria de Torpedo coloca de verdad al azar?

No exactamente, y preferimos decirlo. La colocación automática de Torpedo, la que usa la máquina para su flota y la que hace el botón de colocación aleatoria, pone los barcos de uno en uno, del más grande al más pequeño. Eso la hace un poco más centrada que una elección de verdad al azar en el juego clásico (las casillas centrales tienen un barco el 22,2 % de las veces en lugar del 21,4 %) y casi plana con la flota de diez barcos, en lugar de cargada hacia el borde. Los resultados de la máquina apenas cambian. Si quieres aprovechar el efecto del borde de esta guía, coloca tus barcos a mano.

Las reglas de las dos flotas están en nuestra guía de reglas de hundir la flota. Para probar colocaciones con un amigo y un lápiz, nuestra guía de hundir la flota en papel tiene una plantilla para imprimir, y la página de funciones de Torpedo enumera los niveles de la máquina y los modos de juego.

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